ギターのチューニングの話 - 音楽と数学 （２） [音楽一般]
純正律と平均律 （２） という記事で、とくに "歪ませたギター" で使われるチューニング について書きました。もう少し、深く考察してみたいと思います。
＃すみません、音の周波数の数学的関係に興味のない方には難解で読みにくいと思われます。m( )m
今回は、５弦解放 の音（A音です） の周波数を 110 Hz としたときに、前の記事で紹介した こちらのページ（Yahoo! 知恵袋のノート） に書かれている ハーモニクス を使ったチューニングを行った場合に 各弦の 周波数 がどのようになるか、および、それらの間の関係を調べます。というか、このページでは "3弦の4Ｆ（フレット）と2弦の開放弦を同じ高さに調整" する代わりに "3弦・4Ｆのハーモニクスと2弦・5Ｆのハーモニクスが同じ音高になるよう調弦" という部分だけ説明されていますが、それ以外についてよく行われているのは、６弦の５フレットと５弦の７フレット、５弦の５フレットと４弦の７フレット、４弦の５フレットと３弦の７フレット、２弦の５フレットと１弦の７フレット のハーモニクスが同じ音程になるようにチューニングする、というやり方なのでその場合を検証してみます。
まず最初に （３弦と２弦以外の） 隣り合う弦の音程の差ですが、５フレット分、つまり半音の５個分です。フレットは通常 "平均律" に基づいて打たれていますので、解放弦と５フレットの音の周波数の比は 2^(5/12) で 約 1.335 倍の関係になります。このとき、実際に振動する弦の長さは（その逆数で） 約 0.749 倍、つまりおよそ 3/4 になります。
（註：ここからわかるのは、"５フレットのハーモニクス" といっても実際は "５フレット近傍" であって５フレットの真上 ではないということです。いわゆる "５フレットのハーモニクス" は、解放弦の４倍の周波数で弦を振動させることなのですが、この場合、Wikipedia の倍音のページ の 右上の図の上から４番目の図で ● がついている部分が５フレット近傍に相当します。"７フレットのハーモニクス" も同じ図の上から３番目の ● の部分に触れて３倍の周波数で弦を振動させることになるのですが、平均律で打たれた７フレットは解放弦の 2^(7/12) ≒1.498 倍の音程で その逆数は 0.6674 となり 1/3 = 0.66666..... よりも大きいので、ハーモニクスを鳴らすポイントも ７フレットの真上 ではありません。）
一方、上記のように隣り合う弦の 低い方の５フレットと高い方の７フレット のハーモニクスが同音になるようにする、ということは低い方の弦の４倍音と 高い方の弦の ３倍音 が同音になるようにするということです。 これはつまり 高い方の解放弦の音を低い方の ３分の４倍 にするということですね。この関係は、純正律の 完全IV度 と一致します。（Wikipedia の音程のページ の 「周波数比と音程」 の項目 を参照ください）
さて、３弦と２弦は、３弦４フレットのハーモニクスと２弦５フレットのハーモニクスが同音になるように、ということでしたが、前述のとおり、５フレットのハーモニクスは解放弦の ４倍音ですが、４フレットを押さえた時の 音 はというと、解放弦の 1.25992 倍の音高になるように打たれていてこれを逆数にすると 0.794 （≒0.8 = 4/5 ）なので、これもハーモニクスは４フレット近傍で ５倍音 をならす（Wikipedia の図の上から５番目） ということになります。その結果、３弦と２弦の解放弦の音程の関係は 5/4 すなわち "長３度" になります。（これについても Wikipedia の音程のページ の 「周波数比と音程」 の項目 を参照ください）
[訂正(8/11) ：もともと Wikipedia の倍音のページの 「各倍音と倍音列」の表を参照、としていましたが見当違いでしたので 参照先を 「音程」のページに修正しました。 （「倍音」 のページでは完全IV度は述べられていませんでした m( )m）]
ということで、ここまでの結果を整理しましょう。今回考察している方法でハーモニクスだけを使ってチューニングをした場合、ギターの各弦の音高の関係は次のようになります。
６弦 = ５弦 × 3/4
５弦 = ６弦 × 4/3 （= 110 Hz）
４弦 = ５弦 × 4/3 = ６弦の 16/9 倍
３弦 = ４弦 × 4/3 = ５弦の 16/9 倍 = ６弦の 64/27 倍
２弦 = ３弦 × 5/4 = ４弦の 5/3 倍 = ５弦の 20/9 倍 = ６弦の 80/27 倍
１弦 = ２弦 × 4/3 = ３弦の 5/3 倍 = ４弦の 20/9 倍 = ５弦の 80/27 倍 = ６弦の 320/81
５弦を A = 110 Hz としたときの それぞれの弦の周波数は以下のようになります。（参考として平均律の場合の周波数を [ ] で囲って右側に書きました）
６弦（E） ： 82.5 Hz [82.41 Hz]
５弦（A） ： 110 Hz [110 Hz]
４弦（D） ： 146.67 Hz [146.83 Hz]
３弦（G） ； 195.56 Hz [195.00 Hz]
２弦（B） ： 244.44 Hz [246.91 Hz]
１弦（E） ： 325.93 Hz [329.63 Hz] （参考： ６弦と１弦は２オクターブなので 82.5 × 4 = 330 Hz）
あぁぁ、、、このチューニング法では６弦と１弦の関係は too bad になっちゃいますね。実際には １弦は ６弦の ５フレットのハーモニクス （４倍音＝２オクターブ上） に合わせたりしますよね… (^ ^;; このチューニング法では、ある特定のキーの "純正律" になるわけではなくて、少なくとも隣り合う２本の弦について低い方の弦と高い方の弦の関係が "純正律" の音程になる、ということであって、ま、つまるところ万能のチューニングというものは存在しない、ということなんですかね。（なので厳密には曲のキーごとにチューニングを変えないといけない、というわけで。。。）
と、いうところで、今回の 考察 はひとまずここまでとしたいと思います。続きはまたいつか![[わーい（嬉しい顔）]](https://blog.ss-blog.jp/_images_e/140.gif)
# ところで個人的には ５弦の解放弦の音程が 110 Hz （440 Hz から２オクターブも下） というのは意外だったのですが、たしかに５弦５フレットのハーモニクスと 440 Hz の音叉の音程が同じなので、そうなりますね。。。
＃すみません、音の周波数の数学的関係に興味のない方には難解で読みにくいと思われます。m( )m
今回は、５弦解放 の音（A音です） の周波数を 110 Hz としたときに、前の記事で紹介した こちらのページ（Yahoo! 知恵袋のノート） に書かれている ハーモニクス を使ったチューニングを行った場合に 各弦の 周波数 がどのようになるか、および、それらの間の関係を調べます。というか、このページでは "3弦の4Ｆ（フレット）と2弦の開放弦を同じ高さに調整" する代わりに "3弦・4Ｆのハーモニクスと2弦・5Ｆのハーモニクスが同じ音高になるよう調弦" という部分だけ説明されていますが、それ以外についてよく行われているのは、６弦の５フレットと５弦の７フレット、５弦の５フレットと４弦の７フレット、４弦の５フレットと３弦の７フレット、２弦の５フレットと１弦の７フレット のハーモニクスが同じ音程になるようにチューニングする、というやり方なのでその場合を検証してみます。
まず最初に （３弦と２弦以外の） 隣り合う弦の音程の差ですが、５フレット分、つまり半音の５個分です。フレットは通常 "平均律" に基づいて打たれていますので、解放弦と５フレットの音の周波数の比は 2^(5/12) で 約 1.335 倍の関係になります。このとき、実際に振動する弦の長さは（その逆数で） 約 0.749 倍、つまりおよそ 3/4 になります。
（註：ここからわかるのは、"５フレットのハーモニクス" といっても実際は "５フレット近傍" であって５フレットの真上 ではないということです。いわゆる "５フレットのハーモニクス" は、解放弦の４倍の周波数で弦を振動させることなのですが、この場合、Wikipedia の倍音のページ の 右上の図の上から４番目の図で ● がついている部分が５フレット近傍に相当します。"７フレットのハーモニクス" も同じ図の上から３番目の ● の部分に触れて３倍の周波数で弦を振動させることになるのですが、平均律で打たれた７フレットは解放弦の 2^(7/12) ≒1.498 倍の音程で その逆数は 0.6674 となり 1/3 = 0.66666..... よりも大きいので、ハーモニクスを鳴らすポイントも ７フレットの真上 ではありません。）
一方、上記のように隣り合う弦の 低い方の５フレットと高い方の７フレット のハーモニクスが同音になるようにする、ということは低い方の弦の４倍音と 高い方の弦の ３倍音 が同音になるようにするということです。 これはつまり 高い方の解放弦の音を低い方の ３分の４倍 にするということですね。この関係は、純正律の 完全IV度 と一致します。（Wikipedia の音程のページ の 「周波数比と音程」 の項目 を参照ください）
さて、３弦と２弦は、３弦４フレットのハーモニクスと２弦５フレットのハーモニクスが同音になるように、ということでしたが、前述のとおり、５フレットのハーモニクスは解放弦の ４倍音ですが、４フレットを押さえた時の 音 はというと、解放弦の 1.25992 倍の音高になるように打たれていてこれを逆数にすると 0.794 （≒0.8 = 4/5 ）なので、これもハーモニクスは４フレット近傍で ５倍音 をならす（Wikipedia の図の上から５番目） ということになります。その結果、３弦と２弦の解放弦の音程の関係は 5/4 すなわち "長３度" になります。（これについても Wikipedia の音程のページ の 「周波数比と音程」 の項目 を参照ください）
[訂正(8/11) ：もともと Wikipedia の倍音のページの 「各倍音と倍音列」の表を参照、としていましたが見当違いでしたので 参照先を 「音程」のページに修正しました。 （「倍音」 のページでは完全IV度は述べられていませんでした m( )m）]
ということで、ここまでの結果を整理しましょう。今回考察している方法でハーモニクスだけを使ってチューニングをした場合、ギターの各弦の音高の関係は次のようになります。
６弦 = ５弦 × 3/4
５弦 = ６弦 × 4/3 （= 110 Hz）
４弦 = ５弦 × 4/3 = ６弦の 16/9 倍
３弦 = ４弦 × 4/3 = ５弦の 16/9 倍 = ６弦の 64/27 倍
２弦 = ３弦 × 5/4 = ４弦の 5/3 倍 = ５弦の 20/9 倍 = ６弦の 80/27 倍
１弦 = ２弦 × 4/3 = ３弦の 5/3 倍 = ４弦の 20/9 倍 = ５弦の 80/27 倍 = ６弦の 320/81
５弦を A = 110 Hz としたときの それぞれの弦の周波数は以下のようになります。（参考として平均律の場合の周波数を [ ] で囲って右側に書きました）
６弦（E） ： 82.5 Hz [82.41 Hz]
５弦（A） ： 110 Hz [110 Hz]
４弦（D） ： 146.67 Hz [146.83 Hz]
３弦（G） ； 195.56 Hz [195.00 Hz]
２弦（B） ： 244.44 Hz [246.91 Hz]
１弦（E） ： 325.93 Hz [329.63 Hz] （参考： ６弦と１弦は２オクターブなので 82.5 × 4 = 330 Hz）
あぁぁ、、、このチューニング法では６弦と１弦の関係は too bad になっちゃいますね。実際には １弦は ６弦の ５フレットのハーモニクス （４倍音＝２オクターブ上） に合わせたりしますよね… (^ ^;; このチューニング法では、ある特定のキーの "純正律" になるわけではなくて、少なくとも隣り合う２本の弦について低い方の弦と高い方の弦の関係が "純正律" の音程になる、ということであって、ま、つまるところ万能のチューニングというものは存在しない、ということなんですかね。（なので厳密には曲のキーごとにチューニングを変えないといけない、というわけで。。。）
と、いうところで、今回の 考察 はひとまずここまでとしたいと思います。続きはまたいつか
# ところで個人的には ５弦の解放弦の音程が 110 Hz （440 Hz から２オクターブも下） というのは意外だったのですが、たしかに５弦５フレットのハーモニクスと 440 Hz の音叉の音程が同じなので、そうなりますね。。。
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